Question

已知圆O的方程为x²+y²=1和点A（a，0），设圆O与x轴交于P、Q两点，M是圆OO上异于P、Q的任意一点，过点A（a，0）且与x轴垂直的直线为l，直线PM交直线l于点E，直线QM交直线l于点F．
（1）若a=3，直线l₁过点A（3，0），且与圆O相切，求直线l₁的方程；
（2）证明：若a=3，则以EF为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标；
（3）若以EF为直径的圆C过定点，探求a的取值范围．

Answer

（1）利用a=3，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切，通过圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，即可求直线l1的方程；
（2）通过a=3，设出M的坐标，推出以EF为直径的圆C的方程，利用圆总过定点，即可求出定点坐标；
（3）通过以EF为直径的圆C过定点，写出逆命题，然后求a的取值范围．
【解析】
（1）∵直线l1过点A（3，0），且与圆C：x2+y2=1相切，
设直线l1的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
则圆心O（0，0）到直线l1的距离为d=，解得k=，
∴直线l1的方程为y=（x-3），即y=（x-3）．
（2）对于圆方程x2+y2=1，令y=0，得x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直线l2过点a且与x轴垂直，∴直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为y=（x+1）．
解方程组，得P′同理可得，
∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为（x-3）（x-3）+（y-）（y-）=0，
又s2+t2=1，∴整理得，
若圆C′经过定点，只需令y=0，从而有x2-6x+1=0，解得x=3，
∴圆C′总经过定点坐标为（3，0）．
（3）以EF为直径的圆C过定点，它的逆命题：设圆O与x轴交于P、Q两点，M是圆O上异于P、Q的任意一点，
过点M（m，0）且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，
直线QM交直线l2于点Q′，以P′Q′为直径的圆C总过定点，则m＞1或者m＜-1．