Question

已知数列{a_n}，S_n为其前n项的和，S_n=n-a_n+9，n∈N^*
（1）证明数列{a_n}不是等比数列；
（2）令b_n=a_n-1，求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）已知用数列{b_n}可以构造新数列．例如：{3b_n}，{2b_n+1}，{}，{}{}，{sinb_n}…请写出用数列{b_n}构造出的新数列{p_n}的通项公式，使数列{p_n}满足①②两个条件，并说明理由
①数列{p_n}为等差数列；
②数列{p_n}的前n项和有最大值．

Answer

（1）利用Sn=n-an+9，计算前三项，即可得到结论；
（2）再写一式，两式相减，可得数列{bn}为首项为4，公比为的等比数列，从而可求数列{bn}的通项公式bn；
（3）利用对数函数的性质，构造数列即可．
（1）证明：n=1时，S1=1-a1+9，∴a1=5-------------------------------------（1分）
n=2时，S2=2-a2+9，∴a2=3-------------------------------------------------------------------------（2分）
n=3时，S3=3-a3+9，∴a3=2------------------------------------------------------------------------（3分）
∵32≠5×2，∴数列{an}不是等比数列--------------------------（4分）
（2）【解析】
∵Sn=n-an+9①，∴n≥2时，Sn-1=n-1-an-1+9②，
①-②得an=1-an+an-1，即2an=1+an-1，-----------------------------------（6分）
∴2（an-1）=an-1-1-----------------------------------（8分）
∵bn=an-1，∴2bn=bn-1，
∴数列{bn}为首项为4，公比为的等比数列--------------------------------------------（9分）
∴bn=4•--------------------------（10分）
（3）【解析】
pn=logabn，a＞1----------------------------------------（13分）
n≥2时，pn-pn-1=logabn-logabn-1==为常数
∴①数列{pn}为等差数列----------------------------------------------（14分）
∵a＞1，∴d=＜0，∴②数列{pn}的前n项和有最大值．--------------------（16分）