Question

设g（x）=2x+，x∈[，4]．
（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）
（2）证明g（x）的最小值为g（）；
（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-，]，则f₁（x）=-1，x∈[-，]，f₂（x）=sinx，x∈[-，]，设φ（x）=+，不等式p≤φ₁（x）-φ₂（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．

Answer

（1）根据y=ax+（a＞0，b＞0，x＜0）单调性及奇函数在对称区间单调性相同即可求得g（x）的单调区间；
（2）利用（1）问g（x）的单调性可证明；
（3）先求定义域x∈[，2]．由定义求出φ（x），φ1（x），φ2（x），进而表示出φ1（x）-φ2（x），由题设条件可得φ1（x）-φ2（x）的最小值及φ1（x）-φ2（x）的最大值问题即可解决．
【解析】
（1）∵g（x）=2x+为奇函数．奇函数在对称区间单调性相同，
g（x）在x∈[，]上递减，g（x）在x∈[，4]上递增；
（2）用最值的定义证明：
g（x）在x∈[，]上递减，
对任意x∈[，]，都有g（）≥g（x）≥g（）；
g（x）在x∈[，4]上递增，对任意x∈[，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（）．
综上，g（x）的最小值为g（）．
（3）先求定义域x∈[，2]．
φ（x）=+=，
φ1（x）=，）=，
φ1（x）-φ2（x）=，
由题设条件可得φ1（x）-φ2（x）的最小值为-5.25．
φ1（x）-φ2（x的最大值为0，
∴p≤-5.25，m≥0．