Question

过双曲线M：x²-=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两渐近线分别交于B，C两点，且=，则双曲线的离心率是    ．

Answer

根据双曲线方程，得渐近线方程为y=-bx或y=bx．设直线l的方程为y=x+1，与渐近线方程联解分别得到B、C的横坐标关于b的式子．由=得B为AC的中点，利用中点坐标公式建立关于b的方程并解之可得b=3，由此算出c=，即可得到该双曲线的离心率．
【解析】
由题可知A（-1，0）所以直线l的方程为y=x+1
∵双曲线M的方程为x2-=1，∴两条渐近线方程为y=-bx或y=bx
由y=x+1和y=-bx联解，得B的横坐标为xB=-
同理可得C的横坐标为xC=
∵=，∴B为AC中点，可得2xB=xA+xC，
即-•2=-1+，解之得b=3（舍去b=0）
因此，c==，可得双曲线的离心率e==
故答案为：