Question

在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值．

Answer

解三角形的特征是把题目中所给的条件全部集合到一个三角形中，依次解出边、角，达到解三角形的目的．
方法一通过充分利用D是中点，构造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求边AC，下则可用正弦定理求出sinA；
方法二根据所给的条件巧妙地建立了一个直角坐标系，将三角问题转化到向量中研究，大大降低了分析问题的难度，首先是求出了，两个向量，利用公式求出了两个向量的夹角A的余弦，再求正弦．此法越过了构造新三角形，使得方法易想．
方法三与方法一类似构造了一系列的新三角形，此方法充分利用D是中点这一性质构造出了一个平行四边形，使得求三角形的另两边的边长时视野开阔，方法也较巧妙．
【解析】
解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=AB=，设BE=x．
由DE∥AB可得出∠BED=π-∠B，即cos∠BED=-
在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2-2BE•EDcos∠BED，5=x2++2××x，
解得x=1，x=-（舍去）．
故BC=2，从而AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB=，即AC=
又sinB=，故=，sinA=．

解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限．
由sinB=，则=（cosB，sinB）=（，），
设=（x，0），则=（，）．
由条件得||==．
从而x=2，x=-（舍去）．故=（-，）．
于是cosA===．
∴sinA==．

解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC．
过P做PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=，AH=，
BN====，
而 HB=，∴CN=，HC=，AC==．
故由正弦定理得=，∴sinA=．