Question

在△ABC中，给出下列四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC必是等腰三角形；
②若sinA=cosB，则△ABC必是直角三角形；
③若cosA•cosB•cosC＜0，则△ABC必是钝角三角形；
④若cos（A-B）•cos（B-C）•cos（C-A）=1，则△ABC必是等边三角形．
以上命题中正确的命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=，可知①不正确．
②若sinA=cosB，不能推出△ABC是直角三角形，如A=B=45°时，故②不正确．
③若cosA•cosB•cosC＜0，cosA、cosB、cosC两个是正实数，一个是负数，故A、B、C中两个是锐角，一个是钝角，
故③正确．
④若cos（A-B）•cos（B-C）•cos（C-A）=1 可得 A=B=C，故△ABC是等边三角形，故④正确．
【解析】
①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=，故△ABC为等腰三角形 或直角三角形，
故①不正确．
②若sinA=cosB，不能推出△ABC是直角三角形，如A=B=45°时，虽有sinA=cosB，但△ABC不是直角三角形，
故②不正确．
③若cosA•cosB•cosC＜0，则由三角形各个内角的范围及内角和等于180° 知，cosA、cosB、cosC两个是正实数，
一个是负数，故A、B、C中两个是锐角，一个是钝角，故③正确．
④若cos（A-B）•cos（B-C）•cos（C-A）=1，则由三角形各个内角的范围及内角和等于180° 知，
cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，故有 A=B=C，故△ABC是等边三角形，故④正确．
即③④正确，
故选B．