Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sinB•sinC=sin²A，判断△ABC的形状．

Answer

（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用正弦定理化简sinB•sinC=sin2A得到一个关系式，代入已知等式中计算得到b=c，再由A的度数，即可确定出三角形ABC为等边三角形．
【解析】
（1）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2-a2=bc，
∴cosA===，
又A为三角形的内角，
则A=；
（2）利用正弦定理化简sinB•sinC=sin2A，得到bc=a2，
代入已知等式得：b2+c2=2bc，即（b-c）2=0，
∴b=c，又A=，
则△ABC为等边三角形．