Question

在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为四边形ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

Answer

根据题意，直线OP在点O与A1B1确定的平面内．设点O与A1B1确定的平面为α，α∩AD=F且α∩BC=E，可得F、E为AD、BC的中点，由正方形的性质可得AM⊥A1F，由A1B1⊥面ADD1A1可得A1B1⊥AM．因此AM⊥面A1FEB1，结合OP⊂面A1FEB1得AM⊥OP．由此即可得到异面直线OP与MA所成的角为90°．
【解析】
∵A1B1⊥面ADD1A1，AM⊂面ADD1A1，∴A1B1⊥AM．
设点O与A1B1确定的平面为α，α∩AD=F且α∩BC=E，则F、E为AD、BC的中点，
根据正方形的性质，可得AM⊥A1F．
∵A1F∩A1B1=A1，A1F、A1B1⊂平面面A1FEB1，∴AM⊥面A1FEB1，
又∵OP⊂面A1FEB1，∴AM⊥OP．
即直线OP与直线AM所成的角是90°．
故选：D