Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n； 
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n，并求满足T_n＜167的最大正整数n．

Answer

（1）两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{bn}，直接利用点P（bn，bn+1）在直线y=x+2上，代入得数列{bn}是等差数列即可求通项；
（2）先把所求结论代入求出数列{cn}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，然后解不等式即可．
【解析】
Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，又Sn-Sn-1=an，（n≥2，n∈N*）
．
∴．
，∴
∴an=2n
∵点P（bn，bn+1）在直线y=x+2上，∴bn+1=bn+2∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1
（2）∵cn=（2n-1）2n，∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）2n，
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1因此：-Tn=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）-（2n-1）2n+1
即：-Tn=1×2+（23+24+…+2n+1）-（2n-1）2n+1∴Tn=（2n-3）2n+1+6