(1),要证明PC⊥BC,可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面,由PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,容易证明BC⊥平面PCD,从而得证;
(2),有两种方法可以求点A到平面PBC的距离:
方法一,注意到第一问证明的结论,取AB的中点E,容易证明DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等,而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍,由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD,交线是PC,所以只求D到PC的距离即可,在等腰直角三角形PDC中易求;
方法二,等体积法:连接AC,则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等,而三棱锥P-ACB体积易求,三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求,其高即为点A到平面PBC的距离,设为h,则利用体积相等即求.
【解析】
(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.
由∠BCD=90°,得CD⊥BC,
又PD∩DC=D,PD、DC⊂平面PCD,
所以BC⊥平面PCD.
因为PC⊂平面PCD,故PC⊥BC.
(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:
易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等.
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.
由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,
因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F.
易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于.
(方法二)等体积法:连接AC.设点A到平面PBC的距离为h.
因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.
从而AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积.
因为PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DC.
又PD=DC=1,所以.
由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积.
由VA-PBC=VP-ABC,,得,
故点A到平面PBC的距离等于.