Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）求过点且与圆C相切的直线；
（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线m，使得以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）先判断点在圆C上，求出切线的斜率，再用点斜式求得相切方程，再化为一般式．
（Ⅱ）设这样的直线存在，其方程为y=x+b，代入圆的方程，利用根与系数的关系求得x1+x2，x1•x2的值，进而求得y1•y2的值．根据OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，求得b=1，或b=-4，从而得出结论．
【解析】
（Ⅰ）因为，所以，点P在圆上．   …（2分）
又因为圆心C（1，-2）所以 ，…（3分）
所以切线斜率，…（4分）
所以方程为，即．…（6分）
（Ⅱ）设这样的直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则由 可得2x2+2（b+1）x+b2+4b-4=0（*），…（7分）
∴．…（9分）
∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=．…（10分）
由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，∴，
即b2+4b-4-b（b+1）+b2=0，b2+3b-4=0，∴b=1，或b=-4．…（12分）
容易验证b=1或b=-4时方程（*）有实根．
故存在这样的直线，有两条，其方程是y=x+1，或y=x-4．…（14分）