Question

已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（c＞0），其导函数y=h′（x）的图象如图所示，f（x）=lnx-h（x）．
（1）求函数f（x）在x=1处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间（，m+）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=2x-ln x（x∈[1，4]）的图象总在函数y=f（x）的图象的上方，求c的取值范围．

Answer

（1）由导函数y=h′（x）的图象过点A，B，可求出h′（x），从而可求出f′（x），f′（1），即所求斜率；
（2）利用导数求出f（x）的单调区间，则区间（，m+）为其一单调区间的子集，由此可解；
（3）函数y=2x-ln x（x∈[1，4]）的图象总在函数y=f（x）的图象的上方，等价于2x-ln x＞f（x）在x∈[1，4]上恒成立，分离参数后转化为函数最值问题处理即可．
【解析】
（1）由题知，h′（x）=2ax+b，其图象为直线，
且过A（2，-1）、B（0，3）两点，
∴，解得．
∴h（x）=-x2+3x+c．∴f（x）=ln x-（-x2+3x+c）=x2-3x-c+ln x．
∴f′（x）=2x-3+，∴f′（1）=2-3+=0，
所以函数f（x）在x=1处的切线斜率为0．
（2）由题意可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）知，f′（x）=2x-3+==．
令f′（x）=0，得x=或x=1．
当x变化时，f（x）、f′（x）随x的变化情况如下表：

x （0，） （，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∴f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞）；f（x）的单调递减区间为（）．
要使函数f（x）在区间（，m+）上是单调函数，
则，解得＜m≤．
故实数m的取值范围是（，]．
（3）由题意可知，2x-lnx＞x2-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，
即当x∈[1，4]时，c＞x2-5x+2lnx恒成立．
设g（x）=x2-5x+2lnx，x∈[1，4]，则c＞g（x）max．易知g′（x）=2x-5+．令g′（x）=0得，x=或x=2．
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x∈（2，4）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
而g（1）=12-5×1+2ln 1=-4，g（4）=42-5×4+2ln 4=-4+4ln 2，
显然g（1）＜g（4），故函数g（x）在[1，4]上的最大值为g（4）=-4+4ln 2，故c＞-4+4ln 2．
∴c的取值范围为（-4+4ln 2，+∞）．