Question

事实证明：总存在正实数a，b（a＜b）使得a^b=b^a，请你写出所有符合条件的a的取值范围是______．

Answer

把等式两边取对数，变形，构造函数，根据函数的单调性和零点的相关知识即可得解
【解析】
∵ab=ba
∴lnab=lnba
又∵a，b是正实数
∴blna=alnb
∴
设函数，则
令f'（x）＞0，得0＜x＜e；令f'（x）＜0，得x＞e
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
又当x→+∞时，f（x）→0且f（x）＞0
∴f（x）的图象如图所示
又∵a＜b
∴1＜a＜e
故答案为（1，e）