Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当最大时，求n的值．

Answer

（1）利用等比数列的性质把a1a5+2a3a5+a2a8=25转化为a32+2a3a5+a52=25，求出a3+a5=5，再利用a3与a5的等比中项为2即可首项和公比，进而求出数列{an}的通项公式；
（2）先利用（1）求出数列{bn}的通项公式以及前n项和为Sn，，进而得到的通项，即可求出当最大时，对应n的值．
【解析】
（1）因为a1a5+2a3a5+a2a8=25，所以，a32+2a3a5+a52=25
又an＞o，a3+a5=5，（3分）
又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5=4
而q∈（0，1），所以，a3＞a5，所以，a3=4，a5=1，q=，a1=16，
所以，an=16×=25-n（6分）
（2）bn=log2an=5-n，所以，bn+1-bn=-1，
所以，{bn}是以4为首项，-1为公差的等差数列（8分）
所以sn=⇒=（10分）
所以，当n≤8时，＞0，
当n=9时，=0，
n＞9时，＜0，
当n=8或9时，最大． （13分）