Question

设a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N^*）都是正数，且a₁a₂a_3^•…a_n⁼¹，试用数学归纳法证明：a₁+a₂+a_3⁺…+a_n≥n．

Answer

先证n=1时，不等式成立，假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a1a2a3•…•ak=1，分类讨论，利用假设，即可得到结论．
证明：①当n=1时，不等式成立
②假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a1a2a3•…•ak=1
若a1，a2，a3，…，ak相同，则都为1，不等式得证
若a1，a2，a3，…，ak不全相同，则a1，a2，a3，…，ak的最大数和最小数不是同一个数
不妨令a1为a1，a2，a3，…，ak的最大数，a2为a1，a2，a3，…，ak的最小数．
则∵a1a2a3•…•ak=1，∴最大数a1≥1，最小数a2≤1
现将a1a2看成一个数，利用归纳假设，有a1a2+a3+…+ak≥k-1…（1）
由于a1≥1，a2≤1，所以（a1-1）（a2-1）≤0
所以a1a2≤a1+a2-1…（2）
将（2）代入（1），得
（a1+a2-1）+a3+…+ak≥k-1，即a1+a2+a3+…+ak≥k
∴当n=k时，结论正确
综上可知，a1+a2+a3+…+an≥n．