Question

已知：F₁和F₂为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
（1）求：双曲线的离心率；
（2）若双曲线经过点Q（4，6），求：双曲线的方程．

Answer

（1）利用F1，F2，P（0，2b）构成正三角形，可得几何量之间的关系，即可求双曲线的离心率；
（2）利用离心率化简双曲线的方程，代入点的坐标，即可求得双曲线的方程．
【解析】
（1）∵F1，F2，P（0，2b）构成正三角形，∴，
即有3c2=4（c2-a2），则；
（2）∵双曲线（a＞0，b＞0）的离心率，∴c2=4a2，
∵c2=a2+b，∴b2=3a2，∴双曲线方程变为，
∵双曲线经过点Q（4，6），∴，
∴a2=4，则双曲线方程为．