Question

已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，数列{a_n} （n∈N^*）的各项都是整数，其前n项和为S_n，若点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，且当n为偶数时，a_n=，则
（1）S₈=    ；
（2）S_4n=    ．

Answer

（1）当n为偶数时，an=，则a2n=n，由f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a2n-1，a2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，得a2n=2a2n-1-1，或a2n=-2a2n-1，从而可求得n为奇数时，a2n-1=，n为偶数时，a2n-1=-，易判断a1，a5，a9，…，成首项为1，公差为1的等差数列，a3，a7，a11，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列，由此可得S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=（a2+a4+a6+a8）+（a1+a5）+（a3+a7），代入即可求值；
（2）由（1）得S4n=S奇+S偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n），化简即可得到答案．
【解析】
（1）当n为偶数时，an=，
∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a2n-1，a2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，
∴a2n=2a2n-1-1，或a2n=-2a2n-1，
当a2n=2a2n-1-1时，2a2n-1=a2n+1=n+1，∴a2n-1=，
∵数列{an} （n∈N*）的各项都为整数，
∴n为奇数时，a2n-1=，
令n=2k-1，k∈N*，则a4k-3==k，即a1，a5，a9，…，成首项为1，公差为1的等差数列；
当a2n=-2a2n-1时，a2n-1=-，
所以n为偶数时，a2n-1=-，
令n=2k′，k′∈N*，则a4k′-1=-=-k′，即a3，a7，a11，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列；
所以S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=（a2+a4+a6+a8）+（a1+a5）+（a3+a7）
=（2+4+6+8）+（1+2）+（-1-2）
=10；
（2）由（1）知，n为偶数时，an=，且a1，a5，a9，…，成首项为1，公差为1的等差数列，a3，a7，a11，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列，
所以S4n=S奇+S偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）==2n2+n．
故答案为：（1）10；（2）2n2+n．