Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（1）求证：D点为棱BB₁的中点；
（2）若二面角A-A₁D-C的平面角为60°，求直线A₁C与平面ABB₁A₁所成的角的大小．

Answer

（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．先证明DE⊥面AA1C1C，再证明D，E，F，B共面，进而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，即可得到结论；
（2）过B作BH⊥A1G于点H，由三垂线定理知，A1G⊥CH，则可得∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角，利用二面角A-A1D-C的平面角为60°，即可得到结论．
（1）证明：过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF

∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，
∴DE⊥面AA1C1C．
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，
故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，
所以DB=EF=AA1=BB1，所以D点为棱BB1的中点；
（2）【解析】
延长A1D与直线AB相交于G，则过B作BH⊥A1G于点H，由三垂线定理知，A1G⊥CH
∴∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角
设AA1=2b，AB=BC=a，则在直角△A1AG中，AB=BG；
在直角△DBG中，BH==
在直角△CHB中，tan∠CHB===
∴，∴==
∵平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B=AB，CB⊥AB
∴CB⊥面AA1B1B
∴∠BA1C是直线A1C与平面ABB1A1所成的角
在直角△BA1C中，tan∠BA1C===
∴∠BA1C=，即直线A1C与平面ABB1A1所成的角为．