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已知函数f(x)满足:,则f(2012)=( ) A. B. C. D.

已知函数f(x)满足:manfen5.com 满分网,则f(2012)=( )
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由于题目问的是f(2012),项数较大,故马上判断函数势必是周期函数,所以集中精力找周期即可;周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出,也可以是演绎推理得出. 【解析】 ∵4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) 取x=1,y=0得f(0)= 法一:∵f(1)= 取x=1,y=1得f(2)=- 取x=2,y=1得f(3)=- 取x=2,y=2得f(4)=- 取x=3,y=2得f(5)=- 取x=3,y=3得f(6)= 猜想得周期为6 ∴f(2012)=f(2)=- 法二:取x=1,y=0得f(0)= 取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1), 同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)=-f(n-1) 所以f(n)=-f(n+3)=f(n+6) 所以函数是周期函数,周期T=6, 故f(2012)=f(2)=- 故选B
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考点分析:
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