Question

如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，．
（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱锥M-ABD的体积．

Answer

（Ⅰ）根据点O是菱形ABCD的对角线的交点，则O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，根据中位线定理可知OM∥AB，而OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，满足线面平行的判定定理；
（Ⅱ）根据OM=OD=3，而，则OD⊥OM，根据菱形ABCD的性质可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根据线面垂直的判定定理可得OD⊥平面ABC，OD⊂平面MDO，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论；
（Ⅲ）根据三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，则OD=3为三棱锥D-ABM的高，最后根据三棱锥的体积公式解之即可．
（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）
因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（4分）
（Ⅱ）证明：由题意，OM=OD=3，
因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（6分）
又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．…（7分）
因为OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，…（8分）
因为OD⊂平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO．…（9分）
（Ⅲ）【解析】
三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积．…（10分）
由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=3为三棱锥D-ABM的高．…（11分）
△ABM的面积为BA×BM×sin120°=×6×3×=，…（12分）
所求体积等于．…（13分）