先根据椭圆方程求得右准线方程,进而分别求得A、B、C到右准线的距离进而根据椭圆的第二定义用e和点到准线的距离表示出|AF|,|BF|,|CF|,进而可知丨AF丨,丨BF丨,丨CF丨成等差数列等价于2ed2=ed1+ed3,2d2=d1+d3,即:x1+x2=8推断出结论.
【解析】
右准线为:x==
设A、B、C到右准线的距离为d1、d2、d3
d1=-x1,d2=,d3=-x2
由椭圆的第二定义(点到定点的距离等于到定直线距离的e倍,定点为焦点,定直线为准线)
丨AF丨=ed1、丨BF丨=ed2、丨CF丨=ed3
丨AF丨,丨BF丨,丨CF丨成等差数列等价于2ed2=ed1+ed3,2d2=d1+d3,即:x1+x2=8
∴“丨AF丨,丨BF丨,丨CF丨成等差数列”是“X1+X2=8的充要条件.