Question

学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

Answer

（1）由题意变轨之后轨迹为开口向上的抛物线，所以利用待定系数法可以先设出方程，再利用条件建立未知数的方程进而求解；
（2）由题意及图形可知变轨点C实质为两圆锥曲线的交点，故联立两方程即可求解．
【解析】
（1）设曲线方程为，
由题意可知，．
∴．
∴曲线方程为．
（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知

得4y2-7y-36=0，y=4或（不合题意，舍去）．
∴y=4．
得x=6或x=-6（不合题意，舍去）．
∴C点的坐标为（6，4），．
答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．