Question

如图，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为、F₂分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．
（I）求双曲线的方程；
（II）设A（m，0）和（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和．

Answer

（I）设点M（x，y），根据题设条件联立方程求得M的坐标，根据求得a，b和c的关系利用a2+b2=c2求得c，b和a，答案可得．
（II）设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则可表示出直线l的方程，直线与双曲线联立方程，可求得x1x2的表达式，求得x2的表达式，同理可求得x3的表达式，最后得出以x2=x3，判断出故直线DE垂直于x轴．
（I）【解析】
根据题设条件，F1（-c，0），F2（c，0）．
设点M（x，y），则x、y满足
因，解得，
故=
利用a2+b2=c2，得，于是
因此，所求双曲线方程为x2-4y2=1．

（II）【解析】
设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为
于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足
将①代入②得（x12-2x1m+m2-4y12）x2+8my12x-4y12m2-x12+2mx1-m2=0．
由已知，显然m2-2x1m+1≠0．于是
因为x1≠0，得
同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足
可解得
所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴．