Question

如图，椭圆Q：（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程．
（2）在Q的方程中，令a²=1+cosq+sinq，b²=sinq（0＜q≤），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

Answer

（1）设出椭圆的标准方程和A，B的坐标进而把A，B代入到椭圆方程联立，先看当当AB不垂直x轴时，方程组中两式相减，进而求得x和y的关系及P的轨迹方程；再看AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足刚才所求的方程，最后综合可得答案．
（2）先根据椭圆方程求得其右准线方程，求得原点到右准线的距离，根据c2=a2-b2，求得=2sin（+），进而可知
当q=时，上式达到最大值．此时a，b和c可求得，则可求得此时的椭圆的方程，设椭圆Q：上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），则可表示出三角形的面积，把直线m的方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理由韦达定理得y1+y2和y1y2的表达式，进而求得三角形面积的表达式，令t=k2+131，进而求得S关于t的函数，根据t的范围确定三角形面积S的最大值．
【解析】
如图，（1）设椭圆Q：（a＞b＞0）
上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），
则
1°当AB不垂直x轴时，x1⊃1;x2，
由（1）-（2）得
b2（x1-x2）2x+a2（y1-y2）2y=0
∴
∴b2x2+a2y2-b2cx=0（3）
2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0

（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=，原点距l的距离为，
由于c2=a2-b2，a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤）
则==2sin（+）
当q=时，上式达到最大值．
此时a2=2，b2=1，c=1，D（2，0），|DF|=1
设椭圆Q：上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积
S=|y1|+|y2|=|y1-y2|
设直线m的方程为x=ky+1，代入中，得（2+k2）y2+2ky-1=0
由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，
4S2=（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=
令t=k2+131，
得4S2=，
当t=1，k=0时取等号．
因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大．