Question

夹在直二面角α-MN-β两面间的一线段AB，与两面所成的角分别为30°和45°，过端点A、B分别作棱MN的垂线，垂足为C、D，若AB=5cm，求CD的长．

Answer

利用面面垂直的性质定理、线面角的定义及含30°、45°的直角三角形的边角关系、勾股定理即可得出．
【解析】
如图所示：
∵AC⊥MN，α⊥β，∴AC⊥β，∴AC⊥BC，
∴∠ABC是斜线AB与平面β所成的角，∴∠ABC=45°．
∵BD⊥MN，α⊥β，∴BD⊥α，∴BD⊥DA，
∴∠BAD是斜线AB与平面α所成的角，∴∠BAD=30°．
在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AB=5，∴AD=ABcos30°==．
在Rt△ABC中，∵∠ABC=45°，AB=5，∴=．
在Rt△ACD中，由勾股定理可得
===2.5cm．