Question

已知二次函数y=f₁（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f₂（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．

Answer

（1）由题意已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），设出函数的解析式，然后根据待定系数法求出函数的解析式；
（2）由已知f（x）=f（a），得x2+=a2+，在同一坐标系内作出f2（x）=和f3（x）=-x2+a2+的大致图象，然后利用数形结合进行讨论求证．
【解析】
（1）由已知，设f1（x）=ax2，由f1（1）=1，得a=1，
∴f1（x）=x2．
设f2（x）=（k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为
A（，）B（-，-）
由|AB|=8，得k=8，．∴f2（x）=．故f（x）=x2+．

（2）证法一：f（x）=f（a），得x2+=a2+，
即=-x2+a2+．
在同一坐标系内作出f2（x）=和f3（x）=-x2+a2+的大致图象，
其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
f3（x）与的图象是以（0，a2+）为顶点，开口向下的抛物线．
因此，f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，
即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵f2（2）=4，f3（2）=-4+a2+
当a＞3时，．f3（2）-f2（2）=a2+-8＞0，
∴当a＞3时，在第一象限f3（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f2（x）图象的上方．
∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解．

证法二：由f（x）=f（a），得x2+=a2+，
即（x-a）（x+a-）=0，得方程的一个解x1=a．
方程x+a-=0化为ax2+a2x-8=0，
由a＞3，△=a4+32a＞0，得
x2=，x3=，
∵x2＜0，x3＞0，∴x1≠x2，且x2≠x3．
若x1=x3，即a=，则3a2=，a4=4a，
得a=0或a=，这与a＞3矛盾，∴x1≠x3．
故原方程f（x）=f（a）有三个实数解．