Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为1的正方形，侧棱垂直底边ABCD四棱柱，AA₁=2，E是侧棱AA₁的中点，求
（1）求异面直线BD与B₁E所成角的大小；
（2）求四面体AB₁D₁C的体积．

Answer

（1）连接B1D1、D1E，可得平行四边形BB1D1D中，B1D1∥BD，所以∠EB1D1或其补角就是异面直线BD与B1E所成角．再由已知条件算出△B1D1E是等边三角形同，从而可得异面直线BD与B1E所成角的大小为60°；
（2）算出正四棱柱ABCD-A1B1C1D1位于B、A1、C1、D四个角上的全等的三棱锥的体积，再用正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积减去这四个三棱锥体积，即可得到四面体AB1D1C的体积．
【解析】
（1）连接B1D1、D1E，
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，B1B∥D1D且B1B=D1D
∴四边形BB1D1D是平等四边形
因此B1D1∥BD，可得∠EB1D1或其补角就是异面直线BD与B1E所成角
∵AA1=2AB=2，∴B1D1=ED1=B1E=，得△B1D1E是等边三角形，∠EB1D1=60°
由此可得，异面直线BD与B1E所成角的大小为60°；
（2）根据题意，得=S正方形ABCD×AA1=2
∵====××1×1×2=
∴四面体AB1D1C的体积为
V=-（+
++）=2-=