Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．
（1）求证：BC⊥SA
（2）若S在底面ABC内的射影为O，证明：O为底面△ABC的中心；
（3）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=，求三棱锥S-ABC的体积．

Answer

（1）由AH⊥面SBC，BC在面SBC内，知H是△SBC的垂心，故SH⊥BC，由此能够证明BC⊥SA．
（2）由SO⊥面ABC，知SO⊥BC，由BC⊥SA，知，故AO⊥BC，同理AB⊥OC，由此能够证明故O为底面△ABC的中心．
（3）由（1）有SA=SB=SC=，设CO交AB于F，则CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，得到∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，由此能求出三棱锥S-ABC的体积．
证明：（1）∵AH⊥面SBC，BC在面SBC内，
∴AH⊥BC，
∵H是△SBC的垂心，∴SH⊥BC，
又∵SH∩AH=H，∴BC⊥面SAH，
∴BC⊥SA．…（4分）

又∵BC⊥SA，SA∩SO=S，
∴，
∴AO⊥BC，同理AB⊥OC，…（8分）
因此O为底面△ABC的垂心，
而三棱锥S-ABC的底面是正三角形，
故O为底面△ABC的中心．
（3）由（1）有SA=SB=SC=，
设CO交AB于F，则CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，
∴EF⊥AB，∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，
∠EFC=30°，∠ECF=60°，
OC=，SO=3，AB=3，
，
∴．…（14分）