Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1，D₁是A₁B₁上一动点（可以与A₁或B₁重合），过D₁和C₁C的平面与AB交于D．
（Ⅰ）证明BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）若D₁为A₁B₁的中点，求三棱锥B₁-C₁AD₁的体积．

Answer

（Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1中，由∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1，知CB∥C1B1，由此能够证明CB∥平面A B1C1．
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A1B1C1中，由D1为A1B1的中点，AC=CB=A1A=1，C1D1⊥A1B1，CC1⊥A1B1，故A1B1⊥平面CDD1C1，所以C1D⊥A1B1．故=，由此能求出三棱锥B1-C1AD1的体积．
（Ⅰ）证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，
AC=CB=A1A=1，
∴CB∥C1B1，
又C1B1⊂平面A B1C1，
CB⊄平面A B1C1，
所以CB∥平面A B1C1．
（Ⅱ）【解析】
直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵D1为A1B1的中点，AC=CB=A1A=1，
∴C1D1⊥A1B1，CC1⊥A1B1，
∴A1B1⊥平面CDD1C1，
∵C1D⊂平面CDD1C1，∴C1D⊥A1B1．
∵∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1，
∴D1B1=A1B1==，
C1D1=C1B1=，
∴=
=×C1D1×（×A1A×D1B1）
=××（×1×）=．
故三棱锥B1-C1AD1的体积为．