Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中点
（Ⅰ）求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A₁B₁M₁．

Answer

（1）由于C1D1∥B1A1故根据异面直线所成角的定义可知∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角然后在解三角形MA1B1求出∠MA1B1的正切值即可．
（Ⅱ）可根据题中条件计算得出A1B1⊥BM，BM⊥B1M然后再根据面面垂直的判定定理即可得证．
【解析】
（1）如图，因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角
∵A1B1⊥面BCC1B1
∴∠A1B1M=90°
∵A1B1=1，=
∴tan∠MA1B1==
即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为
（Ⅱ）∵A1B1⊥面BCC1B1，BM⊆面BCC1B1
∴A1B1⊥BM①
由（1）知=，BM==，B1B=2
∴
∴BM⊥B1M②
∵A1B1∩B1M=B1
∴由①②可知BM⊥面A1B1M
∵BM⊆面ABM
平面ABM⊥平面A1B1M1．