Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer

（1）由题意可得：an=2Sn-1+1（n≥2），所以an+1-an=2an，即an+1=3an（n≥2），又因为a2=3a1，故{an}是等比数列，进而得到答案．
（2）根据题意可得b2=5，故可设b1=5-d，b3=5+d，所以结合题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）2，进而求出公差得到等差数列的前n项和为Tn．
【解析】
（1）因为an+1=2Sn+1，…①
所以an=2Sn-1+1（n≥2），…②
所以①②两式相减得an+1-an=2an，即an+1=3an（n≥2）
又因为a2=2S1+1=3，
所以a2=3a1，
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列
∴an=3n-1．
（2）设{bn}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，
故可设b1=5-d，b3=5+d，
又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，
所以可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）2，
解得d1=2，d2=-10
∵等差数列{bn}的各项为正，
∴d＞0，
∴d=2，
∴