已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离...

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．

（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=-，根据抛物线的大于可得：4+，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得 k2x2-（4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64（k+1）＞0即k＞-1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．【解析】（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=-， ∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离， ∴4+∴p=4 ∴抛物线C的方程为y2=8x （Ⅱ）由消去y，得 k2x2-（4k+8）x+4=0 ∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞-1且k≠0，又=2，解得 k=2，或k=-1（舍去） ∴k的值为2．

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考点分析：

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对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
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B．

C．

D．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等