已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值...

已知抛物线y=ax²-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围．

设而不求，可设出对称的两个点P，Q的坐标，利用两点关于直线x+y=0成轴对称，可以设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数b，建立关于a的函数关系，求出变量a的范围．【解析】设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x，y），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2-x-（1+b）=0．① 判别式△=1+4a（1+b）＞0．② 由①得x==，y=x+b=+b． ∵M∈l，∴0=x+y=++b，即b=-，代入②解得a＞．故实数a的取值范围（，+∞）

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考点分析：

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已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标
（III）求BC所在直线的方程．

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如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

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已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．

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对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
能满足此抛物线方程y²=10x的条件是（要求填写合适条件的序号）．查看答案

如果过两点A（a，0）和B（0，a）的直线与抛物线y=x²-2x-3没有交点，那么实数a的取值范围是．查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等