Question

已知抛物线y²=4ax（0＜a＜1=的焦点为F，以A（a+4，0）为圆心，|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）是否存在这样的a值，使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列？如存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）先设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），根据抛物线的方程可得到F（a，0），然后联立抛物线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和，即可得到|MF|+|NF|的值．
（2）先假设存在a满足条件，根据2|PF|=|MF|+|NF|，再由抛物线的定义可得到|PF|=4x=4-a，将x代入圆的方程，求出的y值，故可得到a的值，但与点P是弦MN的中点得到的a的范围矛盾，可得到结论．
【解析】
（1）F（a，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），
由 ，消去y，得
⇒x2+2（a-4）x+（a2+8a）=0，
∵△＞0，∴x1+x2=2（4-a），
∴|MF|+|NF|=（x1+a）+（x2+a）=8．
（2）假设存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列，即2|PF|=|MF|+|NF|⇒|PF|=4x=4-a，
∴
又
=
=
=16a-4a2⇒a=2，
与矛盾．
∴假设不成立．
即不存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列．