Question

设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项．

Answer

设设抛物线为y2=2px（p＞0），可求得|BC|=2p，设P（2pt2，2pt），则Q（2pt2，0），可求得|PQ|与|OQ|，从而可证得|BC|×|OQ|=|PQ|2．
证明：设抛物线为y2=2px（p＞0）．则焦点F（，0），
依题意，B，C的坐标可由得：y2=p2，y=p或-p，
∴B（，p），C（，-p），|BC|=p-（-p）=2p；
设P（2pt2，2pt），则Q（2pt2，0），
∴|PQ|=|2pt|，|OQ|=2pt2
|BC|×|OQ|=2p×2pt2=4p2t2=（2pt）2=|PQ|2，
∴|PQ|是|BC|和|OQ|的等比中项．