Question

已知椭圆C的对称轴在坐标轴上，且过点，．设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

Answer

设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），把两点坐标代入可得方程组，解出即可求得椭圆方程，联立直线与椭圆方程构成方程组，消掉y得x的二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x，y），由韦达定理及中点坐标公式即可求得x，代入直线方程即可求得y．
【解析】
设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），
由题意得，，即，解得m=，n=1，
所以椭圆的标准方程是：．
联立方程组，消去y得，10x2+36x+27=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x，y），
则，x==-，
所以y=x+2=．
故线段AB中点坐标为（-，）．