Question

P为椭圆上一点，F₁、F₂为左右焦点，∠F₁PF₂=90°
（1）若PF₁的中点为M，求证；
（2）求△F₁PF₂的面积；
（3）求P点的坐标．

Answer

（1）根据椭圆的方程，算出a=5、b=3且c=4，△PF1F2中利用中位线定理，结合椭圆的定义即可证出PF1的中点M满足关系式；
（2）设|PF1|=t1，|PF2|=t2，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于t1、t2的方程组，平方相减即可求出|PF1|•|PF2|=18，结合直角三角形面积公式即可算出△F1PF2的面积；
（3）设P（x，y），根据△F1PF2的面积S△，解出y=±，再代入椭圆方程求出横坐标的值，即可得到P点的坐标．
【解析】
∵椭圆方程为，
∴a=5，b=3，可得c==4
（1）∵△PF1F2中，O、M分别是PF1、F1F2的中点
∴|OM|=|PF2|，根据椭圆的定义得|PF2|=10-|PF1|
因此，|OM|=；
（2）设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则t1+t2=10①
又∵Rt△PF1F2中，利用勾股定理得②，
由①2-②，得t1t2=18
∴△F1PF2的面积S△；
（3）设P（x，y），由S△，
得4|y|=9，解之得，
将代入椭圆方程解，得，
∴P点的坐标为或．