Question

平面内与两定点A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系．

Answer

设出动点M的坐标，利用斜率乘积求出曲线轨迹方程，然后讨论 m的值，判断曲线是圆、椭圆或双曲线时m的值的情况．
【解析】
设动点为M，其坐标（x，y）．
当x≠±a时，由条件可得，
即mx2-y2=ma2（x≠±a）．又A1（-a，0），A2（a，0）的坐标满足mx2-y2=ma2．
故依题意，曲线C的方程为mx2-y2=ma2．
当m＜-1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C 的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线．