Question

设0＜a＜1，且log_ax+3log_xa-log_xy=3，
（1）设x=a^t（t≠0），以a，t表示y；
（2）若y的最大值为，求a，x．

Answer

（1）若设x=at，试用a、t表示y．首先对等式logax+3logxa-logxy=3利用换底公式化简为（logax）2-3logax+3=logay，然后把x=at代入化简即可．
（2）先根据（1）所解得的函数y=，然后利用二次函数的性质求如果y有最大值时a和x的值
【解析】
（1）已知 logax+3logxa-logxy=3
即logax+3logxa-3=logxy
利用换底公式有：logax+3logxa-3=
则（logax）2-3logax+3=logay．
设x=at，则：t=logax．
即：t2-3t+3=logay，
∴y=．
（2）∵y=f（x）有最大值，且0＜a＜1，
∴logay有最小值loga
当logax=时，loga=
∴a=
此时=
∴x=，
即a=，x=为所求