Question

已知函数f（x）=4cosxsin（x-）+．
（1）求函数f（x）在区间[，]上的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，f（C）=，且c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f（x）在区间[，]上的值域；
（2）先求出C，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC面积的最大值．
【解析】
（1）f（x）=4cosxsin（x-）+=sin2x-cos2x=2sin（2x-），…4分
由≤x≤，有≤2x-≤，∴得函数f（x）的值域为[1，2]．…6分
（2）由f（C）=，有sin（2C-）=，
∵C为锐角，∴2C-=，∴C=．…9分
∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2-ab=4，
∵a2+b2≥2ab，∴4=a2+b2-ab≥ab．
∴S△ABC==≤，
∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值．…13分．