Question

函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e为自然数的底数）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（II） 若对任意给定的x∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x）成立，求a的取值范围．

Answer

（1）求出函数f（x）的导函数f′（x），由f′（x）的正负判断函数的单调性；
（2）求出函数g（x）的导函数g′（x），由g′（x）的正负判断函数的单调性并求出函数g（x）在（0，e]上的值域；当x= 时，f′（x）=0，故由题意得，，即 ①，讨论在（0，e]上的单调性，研究f（x）的最值，当且仅当a满足下列条件：，由③式得  ④．综合①④可知，当时，对任意给定的x∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x）成立．
【解析】
（1）函数的定义域为（0，+∞）
（x＞0）
当a=2时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
当a＞2时，，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
当a＜2时，，故当时，f′（x）＜0，此时f（x）为减函数；当时，f′（x）＞0f（x）为增函数．
综上，当a≥2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a＜2时，f（x）在上是减函数，在上是增函数．
（2）g′（x）=e1-x-xe1-x=（1-x）e1-x
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1-e＞0
所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]
=，x∈（0，e]
当x= 时，f′（x）=0
故由题意得，f（x）在（0，e]上不单调．
∴，即      ①
故当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴当x= 时，函数f（x）取到极小值，也是最小值，f（e）=（2-a）（e-1）-2
∴对任意给定的x∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x）成立，当且仅当a满足下列条件：，
即
令
则，令h′（a）=0，解得a=0或a=2
故当a∈（-∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．
∴对于任意的，有h（a）≤h（0）=0，即②对于任意的恒成立．
由③解得  ④
综合①④可知，当时，对任意给定的x∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x）成立．
故a的范围是