Question

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=，|F₁F₂|=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer

（1）利用⊥，求出Q的坐标，利用2+=，可得F1为F2Q中点，结合|F1F2|=2，从而可求几何量，即可得到椭圆C的方程；
（2）设出l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，即=0，即可求得m的取值范围．
【解析】
（1）设Q（x，0），由F2（c，0），A（0，b）知=（-c，b），=（x，-b），
∵⊥，∴-cx-b2=0，
∴x=-，
∵2+=，∴F1为F2Q中点，
∴，∴b2=3c2=a2-c2
∵|F1F2|=2，∴c=1，∴b=，a=2
∴所求椭圆方程为        …6分
（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x-1）
代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0…8分
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，
=（x1+x2-2m，y1+y2）
∵菱形对角线垂直，∴=0
即=-1 …11分
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
∴k2（-2）+-2m=0，
由已知条件知k≠0且k∈R，∴m==，∴0＜m＜
故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m＜．…14分