Question

求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在坐标轴上，且经过两点；
（2）经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36具有共同的焦点．

Answer

（1）解法1：利用待定系数法，分类讨论，解方程组，可求椭圆的标准方程；
解法2：设所求椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），解方程组，可求椭圆的标准方程；
（2）设出与椭圆9x2+4y2=36具有共同的焦点的椭圆方程，将（2，-3）代入，即可求得椭圆的标准方程．
【解析】
（1）解法1：①当所求椭圆的焦点在x轴上时，设它的标准方程为，依题意应有，解得，因为a＞b从而方程组无解；
②当所求椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为，依题意应有，解得，所以所求椭圆的标准方程为．
故所求椭圆的标准方程为．
解法2：设所求椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），依题意得，解得，从而所求椭圆的标准方程为．
（2）∵椭圆9x2+4y2=36的焦点坐标为，从而可设所求椭圆的方程为，
又∵经过点（2，-3），从而得，解得λ=10或λ=-2（舍去），
故所求椭圆的标准方程为．