Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，且满足a₂=5，．
（1）推测{a_n}的通项公式；
（2）若，令c_n=a_n+b_n，求数列c_n的前n项和T_n．

Answer

（1）由递推式求出前3项，以此作出推测即得通项公式；
（2）由（1）易求cn，对各项分组后分别利用等差数列、等比数列的求和公式即可求得Tn．
【解析】
（1）由a2=5，an+1=an2-2nan+2，an＞0（n∈N*）知：
a2=a12-2a1+2，故 a1=3，
a3=a22-4a2+2=7，
推测an=2n+1．（n∈N*）①；
（2）由（1）知，．
Tn=（a1+b1）+（a2+b2）+（a3+b3）+…+（an+bn）
=（a1+a2+a3…+an）+（b1+b2+b3+…+bn）
=[3+5+7+…+（2n+1）]+（1+2+4+…+2n-1）
=
=（n2+2n）+（2n-1）=2n+n2+2n-1．
所以数列{cn}的前n项和Tn为2n+n2+2n-1．