Question

某射击比赛的规则如下：
①每位选手最多射击3次，每次射击击中目标，方可进行下一次射击，否则停止；
②第l次射击时，规定击中目标得（4-i）分，否则得0分（i=1，2，3）．已知选手甲每次射击击中目标的概率均为0.8，且其各次射击结果互不影响，
（I）求甲恰好射击两次就停止的概率；
（II）设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer

（Ⅰ）根据题意，记“甲第i次击中目标”为事件Ai，分析可得甲恰好射击两次就停止即事件A1•，由相互独立事件概率公式，计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分析可得ξ可取的值为0、3、5、6，分别计算ξ=0、3、5、6时的概率，进而由数学期望公式，计算可得答案．
【解析】
（Ⅰ）记“甲第i次击中目标”为事件Ai，则有P（Ai）=0.8，P（）=1-0.8=0.2，i=1、2、3；
根据题意，甲的各次射击结果互不影响，即各次射击为相互独立事件，
则甲恰好射击两次就停止即事件A1•，
则其概率P1=P（A1•）=0.8×0.2=0.16，
（Ⅱ）根据题意，ξ可取的值为0、3、5、6，
P（ξ=0）=P（）=1-0.8=0.2，
P（ξ=3）=P（A1•）=0.16，
P（ξ=5）=P（A1•A2•）=0.8×0.8×0.2=0.128，
P（ξ=6）=P（A1•A2•A3）=0.512，
则其数学期望为Eξ=0×0.2+3×0.16+5×0.128+6×0.512=4.192．