Question

已知抛物线C：y²=4x，直线与C交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）求实数b的取值范围．
（II）是否存在实数b，使得直线OA、OB倾斜角之和等于135°？若存在，求出实数b的值；若不存在，说明理由．

Answer

（I）抛物线C：y2=4x与直线联立，利用判别式大于0，即可求实数b的取值范围．
（II）把直线方程与抛物线方程联立，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=135°，tan（α+β）=tan135°=-1，由此可得结论．
【解析】
（I）抛物线C：y2=4x与直线联立，消去y可得x2+（4b-16）x+4b2=0
∴△=-128b+256＞0，∴b＜2；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4b-16，x1x2=4b2，
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，
则α+β=135°，tan（α+β）=tan135°=-1，
∴=-1
∴kOA+kOB-kOAkOB+1=0
∴+-+1=0
∴x1x2+（x1+x2）-b2=0
∴×4b2+（-4b-16）-b2=0
∴b=-2或b=0（舍去）
经检验，b=-2时符合题意．