Question

已知．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）令a=2，若经过点A（3，0）可以作三条不同的直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围．

Answer

（I）由=，x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得x=a，或x=a．由此根据a的取值进行分类讨论，能求出f（x）的单调递增区间．
（II）设切点为P（x，y），切线斜率为k，则关于x的方程=有三个不等实根，即b=，由此入手能够推导出当b∈（）时，可作三条切线．
【解析】
（I）∵，
∴
=
=，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x=a，或x=a．
①当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为（0，a），（1，+∞）；
②当a=1时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
③当a＞1时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．
（II）设切点为P（x，y），切线斜率为k，
则方程组，
即关于x的方程=有三个不等实根，
整理，得b=
=，
令h（x）=，
则h′（x）=x-3+-，
h′（x）=0，解得x=，或x=3．
当x变化时，h′（x）与h（x）的变化情况如下表：

 x  （0，）    （，3）  3  （3，+∞）
 h′（x） +  0 -  0 +
 h（x） ↑  极大值 ↓  极小值 ↑

当x=1时，h（x）取得极大值h（）=12-6-ln2．
当x=3时，h（x）取得极小值h（3）=；
又当x趋近于0时，h（x）充分小，当x趋近于+∞时，h（x）充分大，
故当b∈（）时，可作三条切线．