Question

已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设出椭圆方程，根据其内接三角形的一个顶点是短轴的一个顶点，重心是一个焦点，利用向量求出已知顶点对边的中点，由该中点在椭圆内部列式求椭圆离心率的范围．
【解析】
不防设椭圆方程：（a＞b＞0），
再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0），
延长BG至D，使|GD|=，
设D（x，y），则，，
由，得：，
解得：，．
而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点，
所以，D点必在椭圆内部，
则．
把b2=a2-c2代入上式整理得：．
即．
又因为椭圆离心率e∈（0，1），
所以，该椭圆离心率e的取值范围是．
故选B．