Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m
（1）m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）求直线被椭圆截得的最长弦所在的直线方程，并求弦长的最大值．

Answer

（1）将椭圆方程与直线方程联立，消去y得到关于x的方程，由两函数图象有交点，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）设直线与椭圆的公共点为A（x1，y1），B（x2，y2），表示出|AB|，变形后利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，代入化简，利用二次函数的性质求出|AB|最大值，以及此时m的值，即可确定出此时直线l的方程．
【解析】
（1）联立得：，
消去y得：5x2+2mx+m2-1=0，
由△=-16m2+20≥0，得-≤m≤，
则m的范围为[-，]；
（2）设直线与椭圆的公共点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|=|x1-x2|==，
∵m∈[-，]，
∴当m=0时，|AB|max=，此时直线l：y=x．