Question

曲线C₁，C₂都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0，1），线段MN是C₁的短轴，是C₂的长轴．直线l：y=m（0＜m＜1）与C₁交于A，D两点（A在D的左侧），与C₂交于B，C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m=，时，求椭圆C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．

Answer

（Ⅰ）可设C1的方程为，C2的方程为，其中a＞1，0＜b＜1，由C1，C2的离心率相同，可建立关于a，b的方程，结合，可求a，b进而可求椭圆C1，C2的方程
（Ⅱ）由OB∥AN，可得kOB=kAN，从而可得m，a的关系，代入可由离心率表示a，进而可由离心率e表示m，结合m的范围可求e的范围
【解析】
（Ⅰ）设C1的方程为，C2的方程为，其中a＞1，0＜b＜1…（2分）
∵C1，C2的离心率相同，所以，
所以ab=1，…．…（3分）
∴C2的方程为a2x2+y2=1．
当m=时，A，C…．（5分）
又∵，所以，，解得a=2或a=（舍），…．…..（6分）
∴C1，C2的方程分别为，4x2+y2=1．…．（7分）
（Ⅱ）A（-，m），B（-，m）． …（9分）
∵OB∥AN，∴kOB=kAN，
∴，
∴． …．（11分）
，
∴，
∴． …（12分）
∵0＜m＜1，
∴，
∴…（13分）